Un lado, el ángulo en un extremo y la bisectriz en el otro.

Construimos hoy un triángulo del que conocemos la longitud de la base BC, el ángulo en su extremo B, 75º, y la longitud de la bisectriz del ángulo del extremo C. Esta última medida podía haber sido cualquiera, pero hemos elegido la misma que tiene el lado conocido.

Comenzamos por dibujar la base BCy construir el ángulo de 75º, bisectriz entre 90º y 60º. Después trazamos un arco desde el extremo C con la longitud de la bisectriz, que cortará al ángulo recién construido en un punto. Este mismo punto nos sirve para duplicar el ángulo que forma la bisectriz con la base y cerrar el triángulo.

Un lado, el radio de la C. Circunscrita y la mediana de otro lado

Otro ejercicio tipo selectividad: Conocemos la longitud del lado BC = 50 mm., el radio de la circunferencia Circunscrita = 30 mm. y la longitud de la mediana de B = 40 mm.
Dibujamos primero la circunferencia y en ella situamos el lado BC.
Trazamos a continuación el lugar geométrico que nos proporciona  la mediana de B, es decir, un arco de radio 40 mm con centro en B.
En él se encontrará el punto medio M del lado CA.
Para situar este punto medio podemos dibujar la circunferencia de radio 15 mm. que circunscribe al triángulo semejante a ABC definido por C y los puntos medios de los lados BC y CA.

Un ángulo, su altura correspondiente y el radio de la C. Circunscrita

El enunciado del problema ya parece indicarnos la posibilidad de construir el Arco Capaz del ángulo dado, por ejemplo 45º, pero desconocemos la longitud del segmento BC. No obstante, comenzamos su trazado en una semirrecta, y debemos darnos cuenta de que, en lugar de la mediatriz del segmento inexistente, podemos obtener el centro O gracias al radio (40 mm.) de la Circunferencia Circunscrita. Esta operación nos permite situar el lado BC.
Una paralela a él a la distancia de la altura proporcionada, 65 mm. permitirá concretar la posición del vértice A y cerrar el triángulo, que tiene dos posibles soluciones.

Un lado, el ángulo opuesto, y la mediana de otro lado

Hoy hemos tenido examen, y algunos estarán impacientes por conocer la ejecución correcta de uno de los triángulos. El enunciado era el siguiente: Construye el triángulo definido por los siguientes datos y determina su Baricentro.
ÁNGULO Â=45º
Lado BC = 79 mm
mediana de B =84 mm.

Parecía obvio que había que emplear el arco capaz de 45º, pero no respecto al lado BC, sino respecto a la mitad del mismo, para así servirnos del triángulo semejante que une los puntos medios. En efecto, el arco de centro B y radio 84 mm. corta al arco capaz de 45º respecto al segmento MC en el punto Medio del lado AC. El resto de la construcción es evidente.
Existen dos soluciones posibles, ya que la mediana de B corta dos veces al arco capaz, pero una de las soluciones es demasiado pequeña.
Para obtener el Baricentro basta con trazar otra de las medianas.

Un lado, la mediana de otro, y la altura del tercero

Hoy en clase había quedado pendiente de resolver el siguiente triángulo:

Lado b = 13 cm.
Mediana de C = 9 cm.
Altura de A = 7 cm.

Se puede trazar en primer lugar la altura de A, de 7 cm. Perpendicular a ella en su pie P trazaremos la recta a la que pertenecerá el lado BC. Situamos C sobre ella mediante un arco de radio 13 y centro A. Con centro en C trazaremos un arco de radio 9 cm, en cuyo extremo debe encontrarse el punto medio del lado AB; su posición exacta nos la dará la paralela al lado BC por el punto medio del lado AC, o por el punto medio de la altura de A. Una vez trazada así la mediana de C, completar el triángulo es sencillo.

Espero que a estas horas todos los estudiantes lo hubieran resuelto y no hayan esperado a esta solución. No era tan difícil.

Dos alturas y un lado

En este caso, conocemos la longitud del lado AB y las alturas de C y A. Comenzamos trazando esta última perpendicular a una recta horizontal. Cortamos dicha recta con un arco de longitud AB, quedando así situados los vértices A y B del triángulo. Obtenemos, finalmente, la posición del vértice C trazando una paralela al lado AB a la distancia de la altura de C.

Dos ángulos y una mediana

A partir de un segmento cualquiera B'C' podemos construir los dos ángulos, por ejemplo 105º y 30º.
Eso cerraría un triángulo, del que podemos trazar la mediana en su vértice correspondiente. No importa que tenga otra medida.

Sobre esta última llevaremos la longitud de la mediana que se nos ha proporcionado. Una recta paralela completará el triángulo pedido.

Siempre que entre los datos conocidos contemos con dos ángulos la solución se basa en la construcción de un triángulo semejante, que luego se adapta al tercer dato conocido, sea cual sea.

UN LADO, EL ÁNGULO OPUESTO Y LA ALTURA CORRESPONDIENTE A OTRO DE LOS VÉRTICES.

Puesto que conocemos el ángulo opuesto a un lado, podemos empezar por dibujar dicho lado y el arco capaz de dicho ángulo (45º en el ejemplo).

Igualmente, podemos trazar el arco capaz de 90º para el mismo lado para situar el Pie P de la altura conocida, lo cual nos permite cerrar el triángulo.

Otro posible camino sería comenzar trazando la altura y la recta del lado perpendicular. En esta última podemos localizar un extremo gracias al lado conocido, y otro gracias al arco capaz del ángulo conocido.

DOS MEDIANAS Y EL ÁNGULO EN EL EXTREMO DE UNA DE ELLAS

Para este triángulo la solución es más evidente que en el anterior. De nuevo hemos de basarnos en que el BARICENTRO divide a cada mediana en 1/3 y 2/3, además de en el Arco Capaz.
Comenzamos por trazar la mediana opuesta al ángulo conocido, AM, y obtener el Baricentro. Con centro en él podemos trazar un arco de radio los 2/3 de la otra mediana CN.
Cortando este arco con el Arco Capaz del ángulo dado (60º) respecto a la primera mediana obtendremos uno o dos posibles vértices, C, que servirían de extremo a la segunda mediana en dos posibles soluciones distintas, cuya conclusión es ya muy fácil.

DOS MEDIANAS Y EL ÁNGULO OPUESTO A AMBAS.

Si los datos conocidos son dos medianas y el ángulo opuesto a las dos, la solución puede llevar unos días.
Podemos empezar trazando una de las medianas, por ejemplo la de A, y, mediante el Teorema de Tales, dividirla en tres partes iguales para determinar el BARICENTRO.
Dividiremos también la mediana de B en tres partes iguales; ambas deben coincidir en el BARICENTRO, pero aún puede variar el ángulo que forma una con la otra. Según cambia éste, la posición del vértice C es diferente, pero siempre sobre una circunferencia de centro el simétrico de A respecto al BARICENTRO, y radio 2/3 de la mediana de B (o viceversa).
La posición definitiva nos la dará el ARCO CAPAZ del ángulo en C, por ejemplo 60º, para la mediana de A.
Una vez en posición A y C, el resto es evidente.

UN LADO Y DOS MEDIANAS

Muy similar es la construcción del triángulo en el que conocemos un lado, por ejemplo BC, su mediana Ma, y cualquiera de las otras dos, en este dibujo la mediana de B.
Hallando 2/3 de la mediana de B y 1/3 de la de A, podemos encontrar el Baricentro. Eso nos permite situar la mediana de A en su posición y cerrar el triángulo.

UN LADO Y LAS MEDIANAS DE SUS EXTREMOS

Si conocemos la longitud de un lado, por ejemplo a, y las medianas de sus extremos, mB y mC, la construcción es sencilla si conocemos ciertas propiedades de las Medianas.

Las tres medianas de un triángulo coinciden siempre en un único punto llamado Baricentro, que resulta ser el centro de gravedad del triángulo. Este punto, además, divide a cada mediana en dos partes, una de las cuales (la que comienza en el vértice) es de doble longitud que la otra, (la que llega al punto medio del lado).

Para construir este triángulo podemos dividir cada mediana en tres partes iguales y trazar arcos desde los extremos del lado con dos tercios de cada una para situar el baricentro. Una vez obtenido éste, completar el triángulo es sencillo.

Para dividir las medianas en partes iguales empleando solamente Regla y Compás debemos emplear el Teorema de TALES.

DOS LADOS Y LA MEDIANA DEL TERCERO

Dibujamos el lado a, y desde su extremo C un arco con la longitud de la mediana de C. En dicho arco debe encontrarse el punto medio M del lado c, por ahora desconocido.
Para obtenerlo encontraremos el punto medio de a, y haciendo centro en él, trazaremos un arco de longitud la mitad del otro lado conocido b.
Una vez situado M, completar el triángulo es sencillo, bien duplicando el segmento BM, o prolongando este segmento y cortándolo con el arco de radio b y centro en C.
La construcción se basa en la semejanza de razón 2 entre todo triángulo y el que se obtiene al unir los puntos medios de sus tres lados. Obsérvese que BMM es semejante a BCA.

DOS LADOS Y LA MEDIANA DE UNO DE ELLOS

Vistas ya todas las combinaciones posibles que nos brindan construcciones de triángulos diferentes conociendo LADOS y ÁNGULOS, debemos introducir un nuevo elemento, por ejemplo las MEDIANAS. Las Medianas son los segmentos que unen el punto medio de cada lado con el vértice opuesto. Para obtener el punto medio de un lado es preciso el trazado de su MEDIATRIZ, operación bastante sencilla que obviaremos en algunas construcciones para restar confusión a los dibujos, consistente en hallar con el compás dos puntos cualesquiera equidistantes a los extremos del segmento. No obstante, en muchos de los problemas, aunque conozcamos el valor de la mediana, desconocemos de entrada la longitud del segmento donde tiene su extremo.

Como en casos anteriores, al trazar uno de los lados conocidos, a, situamos ya dos de los vértices, B y C. La posición del tercero, A, y, por lo tanto, la conclusión del triángulo, se obtiene trazando arcos que se corten con las otras dos medidas disponibles desde el extremo B y desde el punto Medio de a, M.

DOS LADOS Y UN ÁNGULO OPUESTO

Cuando sabemos la medida de dos lados y el valor del ángulo opuesto a cualquiera de ellos podemos llegar a la solución por dos caminos.
Una manera sería recurriendo al arco capaz de ángulo conocido respecto al lado opuesto, de igual modo que resolvimos cuando conocíamos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
La otra, la que empleamos aquí, consiste en construir el ángulo, 135º por ejemplo, en el extremo B del lado correspondiente, a, para después obtener el vértice que falta A mediante un arco con la medida del otro lado b.

DOS LADOS Y EL ÁNGULO QUE FORMAN

Si los tres datos conocidos son dos lados, a y c, y el ángulo que forman, B, la construcción es bastante sencilla.
Comenzamos trazando con su medida cualquiera de los lados, por ejemplo a. Construimos después el ángulo, por ejemplo 75º, en su extremo correspondiente B, y finalmente la longitud del otro lado nos sirve para situar el vértice A, cerrando el triángulo.

TRIÁNGULO ÁUREO

Para construir un triángulo del que conozcamos el valor de los tres ángulos A, B y C no son necesarios grandes artificios, pero veríamos que las soluciones son infinitas. Existen infinitos triángulos semejantes con los 3 ángulos iguales, y basta con trazar 2 de ellos a partir de un lado de cualquier medida para obtenerlo.

Tracemos, por ejemplo, un caso particular, un triángulo isósceles de ángulos A 72º, B 72º y C 36º, o lo que es lo mismo, un TRIÁNGULO ÁUREO.
Hasta el momento sólo hemos construido ángulos múltiplos de 15º, que se basan en la división de la circunferencia en 6, 12 y 24 partes iguales mediante bisectrices, pero dijimos el otro día que se podía construir con Regla y Compás cualquier ángulo múltiplo de 3º. La propia construcción del Triángulo Áureo nos servirá para obtener estos ángulos a partir del de 72º y todos los que resultan de trazar sus bisectrices.

Partiendo de un lado AB de cualquier longitud, que servirá de base, hemos de obtener la medida de los otros dos lados, iguales, que cerrarán un T. isósceles de ángulos 72º, 72º y 36º.
Para ello, trazamos un segmento perpendicular de igual longitud que la base, a cuyo extremo llamamos P.
A continuación obtenemos el punto medio de la base M mediante su mediatriz, y trazamos un arco de cemtro M y radio MP que cortará a la prolongación de la AB en Q.
La longitud AQ es la medida de los dos lados iguales que necesitamos para cerrar el triángulo y obtener los ángulos buscados.

La construcción se basa en la semejanza de los triángulos ABC y ABD, y en la igualdad de los segmentos AB = BD = CD.

DOS ÁNGULOS Y UN LADO OPUESTO

Si los datos del triángulo son un lado a, su ángulo opuesto en A, por ejemplo 60º, y cualquiera de los otros dos B o C, 45º la construcción se complica, no mucho.
Podemos comenzar como en el anterior, trazando el lado conocido y el ángulo en su extremo.
Para continuar podríamos calcular el tercer ángulo y resolver como en el ejercicio anterior, pero es más elegante recurrir al ARCO CAPAZ del lado a para un ángulo de 60º.
Para ello construimos dicho ángulo en un extremo hacia abajo, y respecto a él trazamos una perpendicular que corte a la mediatriz del segmento. El punto así obtenido, O, será el centro de un arco de circunferencia en el que todos sus puntos abarcan el segmento a con 60º.
Encontraremos, pues, el vértice A donde coincidan el arco y la recta que forma 45º con a.

DOS ÁNGULOS Y EL LADO COMPRENDIDO

Otra construcción sencilla es aquella en la que conocemos un lado, por ejemplo a, y los dos ángulos de sus extremos B y C, por ejemplo 45º y 60º.
Recordemos que, con Regla y Compás, sólo pueden construirse los ángulos múltiplos de 3º; y que la suma de los tres ángulos ha de ser siempre 180º, por lo que sólo uno de ellos puede ser Recto u Obtuso.
Así pues, trazaremos el lado a, y al construir los ángulos dados en los extremos se cerrará el triángulo, obteniéndose el vértice A.
Espero que las operaciones para construir los ángulos no resulten complicadas. Para el de 45º he trazado 90º y su bisectriz, y para 60º un triángulo equilátero de cualquier medida.

EMPEZANDO FÁCIL

El triángulo más sencillo es aquel en que conocemos la medida de los tres lados, a, b y c.
Basta con trazar uno de ellos, por ejemplo a (BC), de forma que sólo nos falta un vértice: A.
Trazando sendos arcos de compás con las medidas de b y c, y centro en sus extremos lo obtenemos fácilmente.
Conviene apuntar que tanto los vértices como los lados deben quedar ordenados en sentido geométrico positivo, esto es, en el contrario a las agujas del reloj.
Recordemos también que si la longitud de uno de los lados es mayor que la suma de los otros dos, no habría solución.