TRIÁNGULO ÁUREO

Para construir un triángulo del que conozcamos el valor de los tres ángulos A, B y C no son necesarios grandes artificios, pero veríamos que las soluciones son infinitas. Existen infinitos triángulos semejantes con los 3 ángulos iguales, y basta con trazar 2 de ellos a partir de un lado de cualquier medida para obtenerlo.

Tracemos, por ejemplo, un caso particular, un triángulo isósceles de ángulos A 72º, B 72º y C 36º, o lo que es lo mismo, un TRIÁNGULO ÁUREO.
Hasta el momento sólo hemos construido ángulos múltiplos de 15º, que se basan en la división de la circunferencia en 6, 12 y 24 partes iguales mediante bisectrices, pero dijimos el otro día que se podía construir con Regla y Compás cualquier ángulo múltiplo de 3º. La propia construcción del Triángulo Áureo nos servirá para obtener estos ángulos a partir del de 72º y todos los que resultan de trazar sus bisectrices.

Partiendo de un lado AB de cualquier longitud, que servirá de base, hemos de obtener la medida de los otros dos lados, iguales, que cerrarán un T. isósceles de ángulos 72º, 72º y 36º.
Para ello, trazamos un segmento perpendicular de igual longitud que la base, a cuyo extremo llamamos P.
A continuación obtenemos el punto medio de la base M mediante su mediatriz, y trazamos un arco de cemtro M y radio MP que cortará a la prolongación de la AB en Q.
La longitud AQ es la medida de los dos lados iguales que necesitamos para cerrar el triángulo y obtener los ángulos buscados.

La construcción se basa en la semejanza de los triángulos ABC y ABD, y en la igualdad de los segmentos AB = BD = CD.