DOS LADOS Y LA MEDIANA DE UNO DE ELLOS

Vistas ya todas las combinaciones posibles que nos brindan construcciones de triángulos diferentes conociendo LADOS y ÁNGULOS, debemos introducir un nuevo elemento, por ejemplo las MEDIANAS. Las Medianas son los segmentos que unen el punto medio de cada lado con el vértice opuesto. Para obtener el punto medio de un lado es preciso el trazado de su MEDIATRIZ, operación bastante sencilla que obviaremos en algunas construcciones para restar confusión a los dibujos, consistente en hallar con el compás dos puntos cualesquiera equidistantes a los extremos del segmento. No obstante, en muchos de los problemas, aunque conozcamos el valor de la mediana, desconocemos de entrada la longitud del segmento donde tiene su extremo.

Como en casos anteriores, al trazar uno de los lados conocidos, a, situamos ya dos de los vértices, B y C. La posición del tercero, A, y, por lo tanto, la conclusión del triángulo, se obtiene trazando arcos que se corten con las otras dos medidas disponibles desde el extremo B y desde el punto Medio de a, M.

DOS LADOS Y UN ÁNGULO OPUESTO

Cuando sabemos la medida de dos lados y el valor del ángulo opuesto a cualquiera de ellos podemos llegar a la solución por dos caminos.
Una manera sería recurriendo al arco capaz de ángulo conocido respecto al lado opuesto, de igual modo que resolvimos cuando conocíamos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
La otra, la que empleamos aquí, consiste en construir el ángulo, 135º por ejemplo, en el extremo B del lado correspondiente, a, para después obtener el vértice que falta A mediante un arco con la medida del otro lado b.

DOS LADOS Y EL ÁNGULO QUE FORMAN

Si los tres datos conocidos son dos lados, a y c, y el ángulo que forman, B, la construcción es bastante sencilla.
Comenzamos trazando con su medida cualquiera de los lados, por ejemplo a. Construimos después el ángulo, por ejemplo 75º, en su extremo correspondiente B, y finalmente la longitud del otro lado nos sirve para situar el vértice A, cerrando el triángulo.

TRIÁNGULO ÁUREO

Para construir un triángulo del que conozcamos el valor de los tres ángulos A, B y C no son necesarios grandes artificios, pero veríamos que las soluciones son infinitas. Existen infinitos triángulos semejantes con los 3 ángulos iguales, y basta con trazar 2 de ellos a partir de un lado de cualquier medida para obtenerlo.

Tracemos, por ejemplo, un caso particular, un triángulo isósceles de ángulos A 72º, B 72º y C 36º, o lo que es lo mismo, un TRIÁNGULO ÁUREO.
Hasta el momento sólo hemos construido ángulos múltiplos de 15º, que se basan en la división de la circunferencia en 6, 12 y 24 partes iguales mediante bisectrices, pero dijimos el otro día que se podía construir con Regla y Compás cualquier ángulo múltiplo de 3º. La propia construcción del Triángulo Áureo nos servirá para obtener estos ángulos a partir del de 72º y todos los que resultan de trazar sus bisectrices.

Partiendo de un lado AB de cualquier longitud, que servirá de base, hemos de obtener la medida de los otros dos lados, iguales, que cerrarán un T. isósceles de ángulos 72º, 72º y 36º.
Para ello, trazamos un segmento perpendicular de igual longitud que la base, a cuyo extremo llamamos P.
A continuación obtenemos el punto medio de la base M mediante su mediatriz, y trazamos un arco de cemtro M y radio MP que cortará a la prolongación de la AB en Q.
La longitud AQ es la medida de los dos lados iguales que necesitamos para cerrar el triángulo y obtener los ángulos buscados.

La construcción se basa en la semejanza de los triángulos ABC y ABD, y en la igualdad de los segmentos AB = BD = CD.

DOS ÁNGULOS Y UN LADO OPUESTO

Si los datos del triángulo son un lado a, su ángulo opuesto en A, por ejemplo 60º, y cualquiera de los otros dos B o C, 45º la construcción se complica, no mucho.
Podemos comenzar como en el anterior, trazando el lado conocido y el ángulo en su extremo.
Para continuar podríamos calcular el tercer ángulo y resolver como en el ejercicio anterior, pero es más elegante recurrir al ARCO CAPAZ del lado a para un ángulo de 60º.
Para ello construimos dicho ángulo en un extremo hacia abajo, y respecto a él trazamos una perpendicular que corte a la mediatriz del segmento. El punto así obtenido, O, será el centro de un arco de circunferencia en el que todos sus puntos abarcan el segmento a con 60º.
Encontraremos, pues, el vértice A donde coincidan el arco y la recta que forma 45º con a.

DOS ÁNGULOS Y EL LADO COMPRENDIDO

Otra construcción sencilla es aquella en la que conocemos un lado, por ejemplo a, y los dos ángulos de sus extremos B y C, por ejemplo 45º y 60º.
Recordemos que, con Regla y Compás, sólo pueden construirse los ángulos múltiplos de 3º; y que la suma de los tres ángulos ha de ser siempre 180º, por lo que sólo uno de ellos puede ser Recto u Obtuso.
Así pues, trazaremos el lado a, y al construir los ángulos dados en los extremos se cerrará el triángulo, obteniéndose el vértice A.
Espero que las operaciones para construir los ángulos no resulten complicadas. Para el de 45º he trazado 90º y su bisectriz, y para 60º un triángulo equilátero de cualquier medida.

EMPEZANDO FÁCIL

El triángulo más sencillo es aquel en que conocemos la medida de los tres lados, a, b y c.
Basta con trazar uno de ellos, por ejemplo a (BC), de forma que sólo nos falta un vértice: A.
Trazando sendos arcos de compás con las medidas de b y c, y centro en sus extremos lo obtenemos fácilmente.
Conviene apuntar que tanto los vértices como los lados deben quedar ordenados en sentido geométrico positivo, esto es, en el contrario a las agujas del reloj.
Recordemos también que si la longitud de uno de los lados es mayor que la suma de los otros dos, no habría solución.