DOS MEDIANAS Y EL ÁNGULO EN EL EXTREMO DE UNA DE ELLAS

Para este triángulo la solución es más evidente que en el anterior. De nuevo hemos de basarnos en que el BARICENTRO divide a cada mediana en 1/3 y 2/3, además de en el Arco Capaz.
Comenzamos por trazar la mediana opuesta al ángulo conocido, AM, y obtener el Baricentro. Con centro en él podemos trazar un arco de radio los 2/3 de la otra mediana CN.
Cortando este arco con el Arco Capaz del ángulo dado (60º) respecto a la primera mediana obtendremos uno o dos posibles vértices, C, que servirían de extremo a la segunda mediana en dos posibles soluciones distintas, cuya conclusión es ya muy fácil.

DOS MEDIANAS Y EL ÁNGULO OPUESTO A AMBAS.

Si los datos conocidos son dos medianas y el ángulo opuesto a las dos, la solución puede llevar unos días.
Podemos empezar trazando una de las medianas, por ejemplo la de A, y, mediante el Teorema de Tales, dividirla en tres partes iguales para determinar el BARICENTRO.
Dividiremos también la mediana de B en tres partes iguales; ambas deben coincidir en el BARICENTRO, pero aún puede variar el ángulo que forma una con la otra. Según cambia éste, la posición del vértice C es diferente, pero siempre sobre una circunferencia de centro el simétrico de A respecto al BARICENTRO, y radio 2/3 de la mediana de B (o viceversa).
La posición definitiva nos la dará el ARCO CAPAZ del ángulo en C, por ejemplo 60º, para la mediana de A.
Una vez en posición A y C, el resto es evidente.

UN LADO Y DOS MEDIANAS

Muy similar es la construcción del triángulo en el que conocemos un lado, por ejemplo BC, su mediana Ma, y cualquiera de las otras dos, en este dibujo la mediana de B.
Hallando 2/3 de la mediana de B y 1/3 de la de A, podemos encontrar el Baricentro. Eso nos permite situar la mediana de A en su posición y cerrar el triángulo.

UN LADO Y LAS MEDIANAS DE SUS EXTREMOS

Si conocemos la longitud de un lado, por ejemplo a, y las medianas de sus extremos, mB y mC, la construcción es sencilla si conocemos ciertas propiedades de las Medianas.

Las tres medianas de un triángulo coinciden siempre en un único punto llamado Baricentro, que resulta ser el centro de gravedad del triángulo. Este punto, además, divide a cada mediana en dos partes, una de las cuales (la que comienza en el vértice) es de doble longitud que la otra, (la que llega al punto medio del lado).

Para construir este triángulo podemos dividir cada mediana en tres partes iguales y trazar arcos desde los extremos del lado con dos tercios de cada una para situar el baricentro. Una vez obtenido éste, completar el triángulo es sencillo.

Para dividir las medianas en partes iguales empleando solamente Regla y Compás debemos emplear el Teorema de TALES.

DOS LADOS Y LA MEDIANA DEL TERCERO

Dibujamos el lado a, y desde su extremo C un arco con la longitud de la mediana de C. En dicho arco debe encontrarse el punto medio M del lado c, por ahora desconocido.
Para obtenerlo encontraremos el punto medio de a, y haciendo centro en él, trazaremos un arco de longitud la mitad del otro lado conocido b.
Una vez situado M, completar el triángulo es sencillo, bien duplicando el segmento BM, o prolongando este segmento y cortándolo con el arco de radio b y centro en C.
La construcción se basa en la semejanza de razón 2 entre todo triángulo y el que se obtiene al unir los puntos medios de sus tres lados. Obsérvese que BMM es semejante a BCA.