Un lado, el ángulo en un extremo y la bisectriz en el otro.

Construimos hoy un triángulo del que conocemos la longitud de la base BC, el ángulo en su extremo B, 75º, y la longitud de la bisectriz del ángulo del extremo C. Esta última medida podía haber sido cualquiera, pero hemos elegido la misma que tiene el lado conocido.

Comenzamos por dibujar la base BCy construir el ángulo de 75º, bisectriz entre 90º y 60º. Después trazamos un arco desde el extremo C con la longitud de la bisectriz, que cortará al ángulo recién construido en un punto. Este mismo punto nos sirve para duplicar el ángulo que forma la bisectriz con la base y cerrar el triángulo.

Un lado, el radio de la C. Circunscrita y la mediana de otro lado

Otro ejercicio tipo selectividad: Conocemos la longitud del lado BC = 50 mm., el radio de la circunferencia Circunscrita = 30 mm. y la longitud de la mediana de B = 40 mm.
Dibujamos primero la circunferencia y en ella situamos el lado BC.
Trazamos a continuación el lugar geométrico que nos proporciona  la mediana de B, es decir, un arco de radio 40 mm con centro en B.
En él se encontrará el punto medio M del lado CA.
Para situar este punto medio podemos dibujar la circunferencia de radio 15 mm. que circunscribe al triángulo semejante a ABC definido por C y los puntos medios de los lados BC y CA.

Un ángulo, su altura correspondiente y el radio de la C. Circunscrita

El enunciado del problema ya parece indicarnos la posibilidad de construir el Arco Capaz del ángulo dado, por ejemplo 45º, pero desconocemos la longitud del segmento BC. No obstante, comenzamos su trazado en una semirrecta, y debemos darnos cuenta de que, en lugar de la mediatriz del segmento inexistente, podemos obtener el centro O gracias al radio (40 mm.) de la Circunferencia Circunscrita. Esta operación nos permite situar el lado BC.
Una paralela a él a la distancia de la altura proporcionada, 65 mm. permitirá concretar la posición del vértice A y cerrar el triángulo, que tiene dos posibles soluciones.

Un lado, el ángulo opuesto, y la mediana de otro lado

Hoy hemos tenido examen, y algunos estarán impacientes por conocer la ejecución correcta de uno de los triángulos. El enunciado era el siguiente: Construye el triángulo definido por los siguientes datos y determina su Baricentro.
ÁNGULO Â=45º
Lado BC = 79 mm
mediana de B =84 mm.

Parecía obvio que había que emplear el arco capaz de 45º, pero no respecto al lado BC, sino respecto a la mitad del mismo, para así servirnos del triángulo semejante que une los puntos medios. En efecto, el arco de centro B y radio 84 mm. corta al arco capaz de 45º respecto al segmento MC en el punto Medio del lado AC. El resto de la construcción es evidente.
Existen dos soluciones posibles, ya que la mediana de B corta dos veces al arco capaz, pero una de las soluciones es demasiado pequeña.
Para obtener el Baricentro basta con trazar otra de las medianas.

Un lado, la mediana de otro, y la altura del tercero

Hoy en clase había quedado pendiente de resolver el siguiente triángulo:

Lado b = 13 cm.
Mediana de C = 9 cm.
Altura de A = 7 cm.

Se puede trazar en primer lugar la altura de A, de 7 cm. Perpendicular a ella en su pie P trazaremos la recta a la que pertenecerá el lado BC. Situamos C sobre ella mediante un arco de radio 13 y centro A. Con centro en C trazaremos un arco de radio 9 cm, en cuyo extremo debe encontrarse el punto medio del lado AB; su posición exacta nos la dará la paralela al lado BC por el punto medio del lado AC, o por el punto medio de la altura de A. Una vez trazada así la mediana de C, completar el triángulo es sencillo.

Espero que a estas horas todos los estudiantes lo hubieran resuelto y no hayan esperado a esta solución. No era tan difícil.

Dos alturas y un lado

En este caso, conocemos la longitud del lado AB y las alturas de C y A. Comenzamos trazando esta última perpendicular a una recta horizontal. Cortamos dicha recta con un arco de longitud AB, quedando así situados los vértices A y B del triángulo. Obtenemos, finalmente, la posición del vértice C trazando una paralela al lado AB a la distancia de la altura de C.

Dos ángulos y una mediana

A partir de un segmento cualquiera B'C' podemos construir los dos ángulos, por ejemplo 105º y 30º.
Eso cerraría un triángulo, del que podemos trazar la mediana en su vértice correspondiente. No importa que tenga otra medida.

Sobre esta última llevaremos la longitud de la mediana que se nos ha proporcionado. Una recta paralela completará el triángulo pedido.

Siempre que entre los datos conocidos contemos con dos ángulos la solución se basa en la construcción de un triángulo semejante, que luego se adapta al tercer dato conocido, sea cual sea.